פרופ' מאיר בר-אשר נולד במרוקו. את כל לימודיו האקדמיים החל מהתואר הראשון ועד הדוקטורט עשה באוניברסיטה העברית. את לימודיו לתואר ראשון, שאותם סיים ב-1978, עשה בחוג לשפה וספרות ערבית ובחוג לפילוסופיה יהודית וקבלה. את לימודי התואר השני עשה בחוג לשפה וספרות ערבית. עבודת הגמר שלו לתואר זה נכתבה בהדרכתו של פרופ' שלמה פינס ונושאה היה: "עיונים בתורת המידות של אַבּו-בַּכְּר אל-ראזי".

עם תום לימודי המ"א נסע לשנת לימודים אקדמית אחת (1983-1982) בפריז. הוא למד שם באוניברסיטת פריס 3 של הסורבון וכן בבית הספר ללימודים גבוהים (Ecole Pratique des Hautes Etudes).את עבודת הדוקטורט שלו כתב בהדרכתו של פרופ' איתן קולברג. נושא העבודה היה: "סוגיות בפרשנות הקוראן השיעית האמאמית הקדומה (מאות שלישית-רביעית להג'רה/תשיעית-עשירית לסה"נ)". הדוקטורט אושרבשנת תשנ"א (1991) בהצטיינות יתרה. מאיר בר-אשר שימש מזכיר החברה המזרחית הישראלית בין השנים 1983-1982, ואחר כך עוזר מחקר ואסיסטנט בחוג לשפה וספרות ערבית באוניברסיטה העברית בין השנים 1983-1992. בשנת 1992 מונה למרצה באוניברסיטה העברית; כיהן כראש החוג לשפה וספרות ערבית בשנים 2002-2000 ואחר כך כראש המכון ללימודי אסיה ואפריקה בשנים 2006-2004. בשנת 2003 הועלה לדרגת פרופסור חבר וב-2007 נבחר לכהן כראש הקתדרה בחקר האסלאם על שם מקס שלזינגר. ב-2007 זכה בפרס מיכאל מילקן על מצוינות בהוראה במשך שלוש שנים ברציפות. שהה בשבתונים באוניברסיטאות אוקספורד ופריס.

החל מחודש ספטמבר 2002 ועד לחודש מארס 2003 עמד, יחד עם פרופ' איתן קולברג בראש קבוצת מחקר במכון ללימודים מתקדמים שבאוניברסיטה העברית. נושא עבודת המחקר של הקבוצה "בדלנות וסגירות כנגד פתיחות ואוניברסליות באסלאם השיעי(Exclusivity and Universality in Shi'i Islam).הייתה זו הפעם הראשונה שבה התכנסה קבוצת חוקרים בינלאומית לעיסוק משותף בחקר השיעה למשך תקופה כה ארוכה (חצי שנה). באוקטובר 2008 נבחר לכהונה שנייה כראש החוג לשפה וספרות ערבית באוניברסיטה העברית. הוא מילא תפקיד זה עד לאוקטובר 2010. החל מחודש ספטמבר 2010 ועד לחודש מארס 2011 עמד, יחד עם פרופ' מרדכי כהן, חוקר מקרא מן הישיבה יוניברסיטי בניו-יורק, בראש קבוצת מחקר במכון ללימודים מתקדמים שבאוניברסיטה העברית. נושא עבודת המחקר של הקבוצה היה "מפגש עם כתבי הקודש בתרבויות חופפות: דרכי פרשנות יהודיות, נוצריות ומוסלמיות קדומות והשלכותיהן המודרניות (“Encountering Scripture in Overlapping Cultures: Early Jewish, Christian and Muslim Strategies of Reading and Their Contemporary Implications"). לצד עבודתו באוניברסיטה העברית כיהן מאיר בר-אשר כסגן ראש מכון בן-צבי לחקר קהילות ישראל במזרח בשנים 1997-1994. במשך חמש שנים (2003-1998) שימש כעורכו של כתב העת 'ספונות' היוצא לאור מטעם מכון בן-צבי וכיום חבר בוועדת המערכת של כתבי העת "קתדרה","Jerusalem Studies in Arabic and Islam",ו"אלכרמל" (היוצא לאור באוניברסיטת חיפה(.